Une introduction à notre domaine de recherche
Cette page propose une introduction informelle aux mathématiques de notre domaine de recherche, destinée à un large public. L’exposé n’est pas entièrement rigoureux ni historiquement exhaustif, mais il devrait donner une idée de quelques concepts fascinants.
Les transitions de phase en physique
Une transition de phase se produit lorsqu’une petite variation d’une grandeur entraîne un changement fondamental du comportement d’un système. Un exemple familier est la solidification de l’eau : lorsque la température passe en dessous de zéro degré Celsius, l’eau liquide se transforme en glace solide. L’ébullition de l’eau, qui devient de la vapeur, ou la perte d’aimantation d’un aimant lorsqu’on le chauffe en sont d’autres exemples. Bien que ces systèmes semblent très différents, les mathématiques révèlent des idées communes derrière leurs changements soudains.
À gauche. Des cristaux de glace, dans lesquels les molécules d’eau forment une structure solide ordonnée. À droite. Une bouteille d’eau en surfusion gèle presque instantanément lorsqu’on la perturbe : un exemple frappant de passage soudain de l’état liquide à l’état solide.
Des modèles mathématiques pour les transitions de phase
Pour comprendre les transitions de phase, les mathématiciens commencent souvent par un modèle simplifié. La percolation en est un exemple important. Imaginez une grille dont les liaisons sont choisies au hasard, indépendamment les unes des autres : chaque liaison est ouverte ou fermée. Cette grille peut représenter de l’eau qui s’écoule dans un matériau poreux, les liaisons d’un réseau de communication ou la diffusion d’une information dans un réseau social.
Nous posons une question simple : si l’on verse de l’eau en haut de la grille, peut-elle atteindre le bas ? Cela se produit exactement lorsqu’il existe un chemin de liaisons ouvertes reliant la rangée du haut à celle du bas. Cliquez sur le bouton ci-dessous pour générer de nouvelles grilles aléatoires.
Simulation du modèle de percolation. Chaque liaison est ouverte avec une probabilité de 50 %, indépendamment des autres. Toutes les liaisons ouvertes accessibles depuis le haut sont représentées en bleu.
Où se situe la transition de phase ?
Notons p la probabilité qu’une liaison donnée soit ouverte. Lorsque p est petit, les longs chemins ouverts sont rares. Lorsque p est grand, ils sont fréquents. Entre ces deux régimes se trouve une valeur particulière, appelée probabilité critique, au voisinage de laquelle le comportement change radicalement. Utilisez les curseurs ci-dessous pour faire varier à la fois p et la taille de la grille. Plus la grille est grande, plus la différence entre les probabilités inférieures et supérieures à 50 % devient nette.
La percolation pour différentes probabilités. En dessous de 50 %, l’eau a de moins en moins de chances de traverser une grande grille ; au-dessus de 50 %, elle a de plus en plus de chances d’y parvenir. À exactement 50 %, aucune des deux issues ne l’emporte. Ces expériences suggèrent que la transition se produit à 50 %, mais une simulation n’est pas une preuve.
Pourquoi 50 % est-il particulier ?
Pour le réseau carré infini, les mathématiciens ont démontré que la probabilité critique vaut exactement 50 %. La démonstration complète fait appel à des idées qui dépassent le cadre de cette introduction, mais un bel argument de symétrie explique déjà pourquoi 50 % est le candidat naturel. Il permet de démontrer l’énoncé exact suivant concernant les grilles finies utilisées sur cette page.
Théorème. Pour chacune des formes de grille utilisées ci-dessus, lorsque p = 50 %, la probabilité que l’eau atteigne le bas vaut exactement 50 %.
Pour voir la symétrie, revenons à la grille initiale de 9 points sur 10 et dessinons une seconde grille entrelacée avec la première. Chaque fois qu’une liaison d’eau est fermée, nous ouvrons la liaison perpendiculaire correspondante sur cette seconde grille, dite duale. Le résultat peut être vu comme un jeu entre deux joueurs. La simulation ci-dessous montre comment cela fonctionne. Vous pouvez passer d’une vue simple montrant uniquement l’eau (comme dans la première simulation ci-dessus) à une vue enrichie présentant le jeu.
Le jeu de transport à 50 %. Le joueur « eau » (en bleu) essaie de traverser la grille de haut en bas en suivant les liaisons d’eau ouvertes. Le joueur « huile d’olive » (en vert) essaie de la traverser de gauche à droite en suivant les liaisons duales. Chaque liaison d’eau fermée crée une liaison d’huile d’olive ouverte. Ainsi, à chaque partie, un seul des deux joueurs gagne.
Lorsque p = 50 %, une liaison d’huile d’olive est ouverte avec une probabilité de 100 % - 50 % = 50 %. Après une rotation d’un quart de tour de la grille duale, le joueur « huile d’olive » se retrouve face au même problème aléatoire que le joueur « eau ». Le jeu traite donc les deux joueurs de manière symétrique :
- à chaque partie, un seul des deux joueurs gagne, et
- les deux joueurs ont la même probabilité de gagner.
La somme des deux probabilités de victoire doit être égale à 100 %, donc chacune vaut 50 %. Cela démontre le théorème ci-dessus et illustre une idée puissante en mathématiques : la symétrie peut ramener l’étude d’un système aléatoire complexe à un argument court et exact.
Le modèle d’Ising
La percolation n’est qu’un modèle mathématique de transition de phase parmi bien d’autres. Les propriétés de la transition de phase peuvent être très différentes d’un modèle à l’autre, ce qui justifie de les étudier individuellement. Nous présentons ci-dessous quelques autres modèles intéressants, sans en donner une définition mathématique complète.
Le modèle d’Ising décrit un matériau comme une grille de petits aimants. Chaque aimant peut pointer dans l’une de deux directions, représentées ci-dessous par + et -. Deux effets entrent en compétition : les interactions magnétiques favorisent l’alignement des aimants voisins, tandis que les fluctuations thermiques perturbent leurs orientations de manière aléatoire. Le paramètre β contrôle l’intensité relative de ces deux effets. La simulation ci-dessous montre comment l’image évolue sous l’effet de cette compétition.
Simulation du modèle d’Ising. Chaque particule est un petit aimant. Le curseur β contrôle la force avec laquelle les aimants voisins s’influencent : un petit β favorise le désordre, tandis qu’un grand β rend plus probable l’alignement des aimants voisins. Les changements les plus intéressants se produisent autour de β ≈ 0,44. Cliquez sur « Démarrer » pour voir les aimants changer d’orientation au fil du temps.
Lorsque β est petit, les orientations des aimants sont mélangées et désordonnées. Lorsque β est grand, la plupart des aimants pointent dans la même direction. Cela explique pourquoi les matériaux magnétiques perdent leur aimantation à une certaine température : lorsque β est petit, les « microaimants » pointent dans des directions aléatoires, et leurs effets se compensent. Lorsque β est grand, ils « coopèrent » en pointant dans la même direction, ce qui produit un effet magnétique beaucoup plus fort. La transition de phase se produit autour de β ≈ 0,44.
Le modèle XY
Le modèle XY se définit de manière très semblable au modèle d’Ising. La différence est que ses petits aimants peuvent pointer dans n’importe quelle direction du plan, plutôt que seulement vers le haut ou vers le bas. Cette liberté continue conduit à un type de transition de phase très différent. En particulier, les flèches peuvent former des motifs tourbillonnaires appelés vortex, qui jouent un rôle central dans la transition de phase du modèle.
Simulation du modèle XY. Chaque site porte une flèche qui peut pointer dans n’importe quelle direction du plan. Les flèches voisines ont tendance à s’orienter dans des directions proches. Contrairement au modèle d’Ising, les flèches ne s’alignent jamais dans une direction commune sur l’ensemble de la grille. Leur comportement change pourtant radicalement au voisinage de β ≈ 1,12.
Le modèle de glace carrée
Le modèle de glace carrée a été introduit pour décrire l’agencement des molécules d’eau (H2O) dans la glace. Un atome d’oxygène se trouve à chaque sommet d’un réseau carré. À chaque atome d’oxygène sont liés deux atomes d’hydrogène, dans deux des quatre directions du réseau. En même temps, deux atomes d’oxygène voisins ne peuvent pas occuper la même position avec leurs atomes d’hydrogène. Le modèle de glace carrée étudie des agencements aléatoires de molécules qui respectent ces règles locales. La simulation ci-dessous en donne une représentation visuelle.
Simulation du modèle de glace carrée. Chaque agencement de molécules peut aussi être représenté par une fonction de hauteur : une attribution de nombres aux faces carrées du réseau. On peut calculer la fonction de hauteur de la manière suivante : en faisant le tour d’un atome d’oxygène dans le sens des aiguilles d’une montre, la hauteur diminue de 1 lorsque l’on passe un atome d’hydrogène, et augmente de 1 lorsqu’il n’y en a pas.
Ce modèle ne possède pas de paramètre, mais présente tout de même un comportement semblable à celui d’un modèle critique (comme la percolation à 50 %). Dans la représentation par les hauteurs, les nombres fluctuent. On s’attend à ce que, sur une grande grille, les régions colorées acquièrent davantage de symétrie : le modèle est discret, mais à grande échelle ces amas de couleur devraient devenir invariants par rotation ! Autrement dit, si l’on faisait tourner l’image, elle aurait qualitativement le même aspect. Les mathématiciens espèrent démontrer ce « gain de symétrie », car il s’agit d’une propriété importante du point de vue physique. Cette question reste ouverte pour le modèle de glace carrée.