Een inleiding tot ons onderzoeksgebied

Deze pagina geeft een informele inleiding tot de wiskunde van ons onderzoeksgebied, bedoeld voor een breed publiek. De uitleg is niet overal wiskundig exact of historisch volledig, maar geeft een indruk van een aantal intrigerende begrippen.

Faseovergangen in de natuurkunde

Er treedt een faseovergang op wanneer een kleine verandering in een grootheid ervoor zorgt dat een systeem zich wezenlijk anders gaat gedragen. Een bekend voorbeeld is het bevriezen van water: wanneer de temperatuur onder nul graden Celsius daalt, verandert vloeibaar water in vast ijs. Andere voorbeelden zijn water dat bij het koken overgaat in stoom en magneten die bij verhitting hun magnetisme verliezen. Hoewel deze systemen er heel verschillend uitzien, laat de wiskunde zien dat er gemeenschappelijke ideeën achter hun plotselinge veranderingen schuilgaan.

Links. IJskristallen, waarin watermoleculen een geordende vaste structuur vormen. Rechts. Een fles onderkoeld water bevriest bijna onmiddellijk bij een verstoring: een opvallend voorbeeld van een plotselinge overgang van vloeibaar naar vast.

Wiskundige modellen voor faseovergangen

Om faseovergangen te begrijpen, beginnen wiskundigen vaak met een vereenvoudigd model. Een belangrijk voorbeeld is percolatie. Stel je een rooster voor waarvan de verbindingen onafhankelijk van elkaar willekeurig worden gekozen: elke verbinding is open of gesloten. Het rooster kan bijvoorbeeld water voorstellen dat door poreus materiaal stroomt, verbindingen in een communicatienetwerk, of informatie die zich door een sociaal netwerk verspreidt.

We stellen een eenvoudige vraag: als we bovenaan water ingieten, kan het dan de onderkant bereiken? Dat gebeurt precies wanneer er een pad van open verbindingen van de bovenste naar de onderste rij loopt. Klik op de knop hieronder om nieuwe willekeurige roosters te maken.

Waar ligt de faseovergang?

Noem de kans dat een gegeven verbinding open is p. Als p klein is, zijn lange open paden zeldzaam. Als p groot is, komen ze vaak voor. Tussen deze twee regimes ligt een bijzondere waarde, de kritieke kans, waarbij het gedrag sterk verandert. Gebruik de schuifregelaars hieronder om zowel p als de roostergrootte te veranderen. Naarmate het rooster groter wordt, wordt het verschil tussen kansen onder en boven 50% steeds duidelijker.

Waarom is 50% bijzonder?

Voor het oneindige vierkante rooster hebben wiskundigen bewezen dat de kritieke kans precies 50% is. Het volledige bewijs vereist ideeën die buiten deze inleiding vallen, maar een mooi symmetrieargument verklaart al waarom 50% de voor de hand liggende kandidaat is. Dat argument bewijst de volgende exacte uitspraak over de eindige roosters op deze pagina.

Om de symmetrie te zien, gaan we terug naar het oorspronkelijke rooster van 9 bij 10 punten en tekenen we een tweede rooster tussen de punten van het eerste. Telkens wanneer een waterverbinding gesloten is, openen we de verbinding op dit tweede, duale rooster die er loodrecht op staat. Het resultaat kunnen we opvatten als een spel tussen twee spelers. In de simulatie hieronder kun je zien hoe dit werkt. Je kunt wisselen tussen een eenvoudige weergave met alleen het water (zoals in de eerste simulatie hierboven) en een uitgebreidere spelweergave.

Bij p = 50% is een olijfolieverbinding open met kans 100% - 50% = 50%. Als we het duale rooster een kwartslag draaien, staat de olijfoliespeler voor hetzelfde kansprobleem als de waterspeler. Het spel behandelt de twee spelers dus symmetrisch:

• elke ronde wint er precies één speler, en
• beide spelers hebben dezelfde kans om te winnen.

De twee winkansen moeten samen 100% zijn, dus elke winkans is 50%. Dit bewijst de stelling hierboven en illustreert een krachtig idee in de wiskunde: met symmetrie kun je een ingewikkeld systeem waarin toeval een rol speelt doorgronden met een kort en exact argument.

Het Isingmodel

Percolatie is maar één wiskundig model voor faseovergangen; er zijn er nog veel meer. De eigenschappen van de faseovergang kunnen sterk verschillen van model tot model. Daarom is het zinvol om elk model afzonderlijk te bestuderen. Hieronder bespreken we nog een paar interessante modellen, zonder een volledige wiskundige definitie te geven.

Het Isingmodel beschrijft een materiaal als een rooster van kleine magneetjes. Elk magneetje kan in een van twee richtingen wijzen, hieronder aangegeven met + en -. Er werken twee effecten tegen elkaar in: door magnetische wisselwerkingen wijzen naburige magneetjes bij voorkeur in dezelfde richting, terwijl thermische fluctuaties hun richtingen willekeurig verstoren. De parameter β bepaalt de relatieve sterkte van deze twee effecten. De simulatie hieronder laat zien hoe het beeld verandert door hun onderlinge strijd.

Bij een kleine β wijzen de magneetjes in allerlei richtingen door elkaar. Bij een grote β wijzen de meeste magneetjes in dezelfde richting. Dit verklaart waarom magnetische materialen bij een bepaalde temperatuur hun magnetisme verliezen: bij een kleine β wijzen de ‘micromagneetjes’ in willekeurige richtingen, zodat hun effecten elkaar opheffen. Bij een grote β ‘werken ze samen’ door in dezelfde richting te wijzen, waardoor het magnetische effect veel sterker is. De faseovergang vindt plaats rond β ≈ 0,44.

Het XY-model

Het XY-model wordt op vrijwel dezelfde manier gedefinieerd als het Isingmodel. Het verschil is dat de kleine magneetjes in elke richting in het vlak kunnen wijzen, in plaats van alleen omhoog of omlaag. Deze continue keuzevrijheid leidt tot een heel ander soort faseovergang. De pijlen kunnen bijvoorbeeld wervelende patronen vormen, vortices genoemd, die een centrale rol spelen bij de faseovergang van dit model.

Het ijsmodel op het vierkante rooster

Het ijsmodel op het vierkante rooster werd oorspronkelijk ingevoerd om de rangschikking van watermoleculen (H₂O) in ijs te beschrijven. Op elk punt van een vierkant rooster zit een zuurstofatoom. Aan elk zuurstofatoom zijn twee waterstofatomen gebonden, in twee van de vier roosterrichtingen. Tegelijkertijd kunnen naburige zuurstofatomen niet allebei dezelfde positie voor een waterstofatoom opeisen. Het ijsmodel bestudeert willekeurige rangschikkingen van moleculen die aan deze lokale regels voldoen. De simulatie hieronder geeft een beeld van het model.

Dit model heeft geen parameter, maar vertoont toch gedrag dat lijkt op dat van een kritiek model (zoals percolatie bij 50%). In de hoogteweergave fluctueren de getallen. De verwachting is dat de gekleurde gebieden op een groot rooster meer symmetrie krijgen: het model is discreet, maar op grote schaal zouden deze kleurclusters invariant moeten worden onder rotaties! Dat betekent dat het beeld er na een draaiing kwalitatief hetzelfde uit zou zien. Wiskundigen hopen deze ‘toename van symmetrie’ te bewijzen, omdat dit vanuit natuurkundig oogpunt een belangrijke eigenschap is. Voor het ijsmodel op het vierkante rooster staat deze vraag nog open.